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Sortiert man nun alle Schadteile nach deren Lebensdauermerkmal aufsteigend, so
lässt sich bereits sehr einfach die entsprechende Ausfallwahrscheinlichkeit H
mit folgender Näherungsformel für Werte n < 50 ermitteln:
mit
i = Ordnungszahl der
sortierten Schadteile
n = Stichprobenumfang oder Anzahl Schadteile
Für n >= 50 rechnet man mit den Häufigkeiten:
In der Literatur findet sich auch häufig die Beziehung H = i/n. Mit n+1 ist jedoch der Übergang von n>= 50 mit der Gleichung für n < 50 besser. Die exakten Summenhäufigkeiten H (oder auch Medianränge) werden mit Hilfe der Binomialverteilung bestimmt:
Diese Gleichung kann jedoch nicht nach H umgestellt werden und muss deshalb iterativ gelöst werden. Für die Praxis ist die oben dargestellte Näherungsformel aber auch völlig ausreichend.
Hat man nun H (für die Y-Achse) zu jedem Wert bestimmt, lässt sich das Weibull-Netz mit den Ausfallstrecken (hier: 1000, 2000, 3000, 4000 und 5000km) zeichnen:
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Bestimmung der Weibull-Parameter
In der klassischen
Betrachtung ergeben sich die Weibull-Parameter durch Bestimmung der
Ausgleichsgerade im linearisierten Weibull-Wahrscheinlichkeitsdiagramm.
Die Punkte für die Ausgleichsgerade bestimmen sich durch Umstellen der 2-parametrigen
Weibull-Funktion:
Die Gerade im linearisiertem Maßstab entspricht
die durch die bekannte Methode der kleinsten Fehlerquadrate und den obigen Werten X und Y ermittelt wird. b ist die Steigung und b ×ln(T) die vertikale Lage der Ausgleichsgerade.
In der Praxis werden b und T häufig durch die Berechnungsmethode von Gumbel berechnet, bei der die Punkte im Weibull-Netz anders gewichtet werden:
mit slog
=logarithmische Standardabweichung
Bei der Methode von Gumbel ergeben sich gegenüber der Standardmethode größere Werte für b, was bei der Interpretation der Ergebnisse zu beachten ist.
Eine weitere Methode zur Bestimmung von b und T ist die Maximum-Likelihood-Abschätzung (maximale Wahrscheinlichkeit). Für die Weibull-Analyse ergibt sich folgende Beziehung:
Es wird davon ausgegangen, dass alle Schadensfälle den gesuchten Ausfallkriterium entsprechen. Zur Ermittlung von b muss diese Beziehung iterativ gelöst werden. Ist b bestimmt worden kann T direkt berechnet werden:
Ein Beispiel als Vorlagendatei zur Bestimmung der
Weibullparameter nach Weibull ist Weibull_Maximum_Likelihood.vxg
Interpretation der Ergebnisse
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