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Mathematische Grundlagen zur Weibull-Verteilung

 Mischverteilung

Gibt es unterschiedliche Ausfallmechanismen, so kann es vorkommen, dass der Verlauf im Weibull-Netz nicht geradlinig ist, sondern einen Krümmung aufweist. Ist es möglich, die Befundung der Ausfälle bei den Bauteilen unterschiedlichen Ursachen zuzuweisen, so wertet man die entsprechenden “Fehlergruppen” im Weibull-Netz getrennt aus. Ist eine Befundung nicht möglich, kann man eine eindeutige Bestätigung für eine Mischverteilung nur schwierig ermitteln, da die einzelnen Punkte immer um die Ausgleichsgerade herum streuen. Es ist auch möglich, dass es sich bei einem rechtsabknickenden Verlauf um eine ausfallfreie Zeit to handelt.
Wie bei fast allen statistischen Tests stellt sich die Frage, ob die Abweichungen der Ausfallpunkte zufällig oder systematisch sind. Es wird folgendes Verfahren angewendet: Man ermittelt jeweils 2 Ausgleichsgeraden aus den Punkten im Anfangsbereich und aus denen im hinteren Bereich. Begonnen wird mit den ersten 3 Punkten. Hat eine Auswertung 10 Ausfälle,  so hat der hintere Abschnitt die letzten 7 Punkte.

Im nächsten Schritt fast man die ersten 4 Punkte und die letzten 6 zusammen usw. Dies geht soweit, bis der zweite Abschnitt nur noch 3 Punkte hat. Danach vergleicht man die Korrelationskoeffizienten der jeweiligen Abschnitte und sucht sich den möglichen “Trennungspunkt” aus, an dem die Korrelationskoeffizienten beider Ausgleichsgeraden am besten sind. Nun muss nur noch ein Test herangezogen werden, um festzustellen, ob die beiden Abschnitte den Verlauf der Ausfälle besser repräsentieren, als eine Ausgleichsgerade über alle Punkte zusammen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist der Vergleich der beiden Steigungen zu dem Vertrauensbereich der Steigung der Gesamtgerade.

Alleine für den Wert der Steigung b gibt es einen Vertrauensbereich. Dieser bestimmt sich durch :

mit n = Anzahl aller Ausfälle,  u1-a/2   Schwellenwert. Für einen beidseitigen Vertrauensbereich von üblicherweise 90% ist  u1-a/2  = 1,64. Weitere Werte sind:
 

a

90%

95%

99%

99.9%

u

1,645

1,960

2,516

3,291

 Die Schwellwerte gelten für n>50.

Liegt nun die geringere Steigung der beiden Teilabschnitte unterhalb des unteren Vertrauensbereiches und/oder die größere über dem oberen Vertrauensbereich, so ist mit einer Mischverteilung zu rechnen.

Beispiel
Obwohl die beschriebenen Verfahren streng genommen erst ab Stichprobenumfängen von  n>50 gültig sind, soll aus Gründen der Einfachheit das folgende Beispiel mit 10 Ausfällen dargestellt werden. Es wurden die folgenden Laufstrecken bis zum Ausfall festgestellt: 1200, 2500, 3400, 4200, 5000, 6200, 6800, 7400, 8600, 9600km. Nach dem eben beschriebenen Verfahren, ergibt sich die Trennung der beiden Abschnitte zwischen Punkt 5 und 6 (siehe Bild oben).
Die Steigung des ersten Abschnittes wird mit 1,5, die des zweiten mit 2,7 berechnet. Nach der eingangs dargestellten Beziehung erstreckt sich der Vertrauensbereich der Steigung für den gesamten Bereich bei a = 90% über 1,03<bges<2,43. Somit überschreitet die Steigung des Abschnittes 2 den Vertrauensbereich nach oben und es ist die Hypothese einer Mischverteilung zu bestätigen. Das Ergebnis ist allerdings knapp. Setzt man den letzten Ausfallpunkt anstelle von 9600km auf 10200km, so ist keine Überschreitung des Vertrauensbereiches mehr vorhanden.

Das Verfahren kann mit der Vorlagendatei Weibull_Mischverteilung.vxg unter Visual-XSel durchgeführt werden.